一场数学研讨会，让我重新审视教学：从弯路到捷径

【来源：易教网 更新时间：2025-12-16】

那天早上，我们高二数学组六个人起了个大早，驱车前往迁安一中。春天的风还带着点凉意，但心里头却热乎乎的。市里的高二数学新课程教学研讨会就在那儿举行，对于我们这些一线教师来说，这种机会就像久旱逢甘霖。公开课、教材解读、专家分析，一整天排得满满当当。我攥着笔记本，心想，今天非得挖点干货回去不可。

上午的两节公开课，让我一下子清醒了。第一节是数学归纳法，讲课的宋老师一上来就直奔主题。他没急着抛定义，而是先问学生：“你们觉得，怎么证明一个命题对所有自然数都成立？”学生七嘴八舌，有的说一个个试，有的说找规律。

宋老师笑了，然后在黑板上写下一个简单的例子：证明 \( 1 + 2 + 3 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2} \) 对所有正整数 \( n \) 成立。

他带着学生从 \( n=1 \) 开始验证，然后假设 \( n=k \) 时成立，一步步推导 \( n=k+1 \)。整个过程，板书工整，逻辑丝丝入扣。我坐在后排，心里暗暗叫好。数学归纳法这东西，我以前总怕讲不清，学生容易迷糊。

但宋老师这么一弄，我豁然开朗——关键就是让学生亲身经历那个“归纳递推”的过程，把抽象思维化成具体操作。他反复强调，新概念不能模棱两可，必须吃透。这句话像锤子一样敲在我心上。是啊，我们平时赶进度，有时候难免浮光掠影，结果学生基础打不牢，后头越学越吃力。

第二节课讲的是应用导数研究函数性质。讲课的老师我不认识，但他一开口，我就被吸引住了。他从最简单的线性函数引入，慢慢过渡到二次函数、三次函数，用导数求单调区间、极值点。知识由浅入深，板书上一条条曲线画得清清楚楚，思路清晰得就像剥洋葱。

我记得他讲到一个例子：函数 \( f(x) = x^3 - 3x \)，求它的单调性。他先让学生求导 \( f'(x) = 3x^2 - 3 \)，然后解方程 \( f'(x) = 0 \)，得到 \( x = \pm 1 \)，接着列表分析符号变化。每一步都稳稳当当，学生跟得上，也听得进。

我旁边的同事小声说：“这板书，这节奏，楷模啊。”我点点头，心里想，教学真是一门艺术。同样的内容，不同的人讲，效果天差地别。这节课让我明白，清晰的结构和循序渐进的引导，比堆砌难题重要得多。

上午的后半段，是教材解读和分析。唐山一中的姚老师和丰南二中的王老师轮流上台。姚老师语速很快，但句句戳中要害。他提到自己刚教新课标时走过的弯路，说了一句让我久久难忘的话：“我后来发现，课堂上有10%的内容其实没必要讲，但这10%牵扯了学生20%的精力，还挫伤了他们30%的信心。”台下顿时安静了。

我脑子里飞速转着，回想自己的课堂。是不是也塞了太多“附加题”“拓展知识”，反而把基础冲淡了？王老师接茬，谈到研究考纲的重要性。新课标实施以来，内容变化不小，考纲就是教学的尺子。如果不研究透，容易南辕北辙。

他强调，特别是对于基础差的学生，更应该因材施教，别追求面面俱到，少讲难题、深题、怪题，狠抓基础。这些话，像一盏灯，把我心里那些模糊的想法照亮了。我以前总怕学生考不好，拼命加料，现在看，可能适得其反。

下午的环节，玉田一中的李老师和市教研室的鲁老师聚焦教材分析。鲁老师主讲《计数原理》，他从三个方面展开：一是《课标》和旧《大纲》的比较，指出新增和删减的内容；二是教材处理，比如如何分课时、怎么设计例题；三是计数模型的总结，他把排列、组合、二项式定理串成一条线，还挖掘了教材习题的变式。

鲁老师对高考试题的研究很深，举了几个历年高考题，说明教材习题如何演变成考题。我边听边记，心里越来越踏实。原来教材里那些看似简单的习题，背后藏着这么多门道。鲁老师说，教学不能光讲表面，得理清知识体系，突破难点。

他提到一个模型：分类加法计数原理和分步乘法计数原理，其实可以归结为“完成一件事的不同方法数”。他用LaTeX写了个公式：如果一件事有 \( m \) 类方案，每类方案有 \( n_i \) 种方法，那么总方法数是 \( N = n_1 + n_2 + \cdots + n_m \)；

如果一件事需要 \( m \) 个步骤，每个步骤有 \( n_i \) 种方法，那么总方法数是 \( N = n_1 \times n_2 \times \cdots \times n_m \)。公式一出来，全场都点头。这种系统化的梳理，让我对计数原理的教学有了新思路。

回来的路上，我们六个人在车里聊个不停。有人说，今天最大的收获是学会了“做减法”——砍掉那些花里胡哨的内容，回归基础。有人说，教学得像宋老师那样，把概念讲透。我望着窗外飞逝的田野，心里涌动着一股热流。教学这些年，我总在赶路，很少停下来看看方向。这次研讨会，就像一块路标。

数学归纳法：从迷惑到通透

数学归纳法，在高中课本里占的篇幅不大，但学生往往卡壳。以前我讲这部分，总是先给出定义：证明一个命题 \( P(n) \) 对所有正整数 \( n \) 成立，需要两步——基础步骤验证 \( P(1) \) 成立，归纳步骤假设 \( P(k) \) 成立去证明 \( P(k+1) \) 成立。

然后扔几个例题，让学生练。效果呢？中等以上的学生能跟上，基础弱的学生就云里雾里。听完宋老师的课，我琢磨出点门道。

他上课的第一件事，是激活学生的已有经验。他问：“你们怎么证明‘所有乌鸦都是黑的’？”学生笑了，说不可能一只只验证。他顺势引出数学归纳法的思想：有限步骤证明无限情况。

接着，他选了一个最简单的恒等式 \( 1 + 2 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2} \)，带着学生动手做。验证 \( n=1 \) 时，左边是1，右边是 \( \frac{1 \times 2}{2} = 1 \)，成立。

然后假设 \( n=k \) 时成立，即 \( 1 + 2 + \cdots + k = \frac{k(k+1)}{2} \)，要证 \( n=k+1 \) 时成立。

他引导学生写出 \( 1 + 2 + \cdots + k + (k+1) \)，利用假设化简，得到 \( \frac{k(k+1)}{2} + (k+1) = \frac{(k+1)(k+2)}{2} \)，正好是右边形式。整个过程，他板书一步一步写，不允许跳步。

学生眼睛瞪得大大的，仿佛看魔术揭秘。

我后来在自己的班上试验这种方法。先花十分钟让学生讨论“如何证明一个关于自然数的命题”，再引入数学归纳法。效果出奇的好。一个以前总说“听不懂”的学生，下课跑来问我：“老师，是不是就像搭多米诺骨牌，推倒第一块，保证每一块都能推倒下一块？”我使劲点头。对啊，数学归纳法的精髓就是这个意象。

宋老师让我看到，教学不能只给结论，得给过程，给体验。概念透了，学生自己就能举一反三。比如，证明 \( 2^n > n^2 \) 对 \( n \geq 5 \) 成立，学生现在能自己写出基础步骤和归纳步骤，虽然计算需要指导，但思路清晰多了。

导数应用：层层递进的艺术

导数研究函数性质，这块内容高考必考，但学生容易在单调性、极值、最值上混淆。第二节公开课的老师，把一堂课变成了一个探险故事。他从走路的速度说起，引入瞬时变化率，自然过渡到导数定义。讲单调性时，他先画了 \( y = x^2 \) 的图像，问学生：“哪些区间上升，哪些下降？

”然后引出导数符号与单调性的关系：\( f'(x) > 0 \) 则增，\( f'(x) < 0 \) 则减。他板书写了个例子：\( f(x) = x^3 - 3x \)，求单调区间。步骤分解得极细：

1. 求导 \( f'(x) = 3x^2 - 3 \)。

2. 解方程 \( f'(x) = 0 \)，得 \( x = \pm 1 \)。

3. 以 \( x = -1 \) 和 \( x = 1 \) 为分界点，将定义域 \( \mathbb{R} \) 分成区间 \( (-\infty, -1) \)、\( (-1, 1) \)、\( (1, +\infty) \)。

4. 在每个区间内取测试点，判断 \( f'(x) \) 符号。

5. 得出结论：\( f(x) \) 在 \( (-\infty, -1) \) 和 \( (1, +\infty) \) 上单调递增，在 \( (-1, 1) \) 上单调递减。

他每一步都问学生：“明白吗？跟得上吗？”板书上，图像画得标准，标注清楚。我注意到，学生几乎没人走神。这让我想起自己有时为了赶进度，跳过测试点这一步，直接给结论。结果学生考试时，碰到复杂函数就乱套。

这位老师的课，核心是“慢就是快”。他把知识拆成小块，让学生嚼烂了再咽下去。比如讲极值，他强调驻点不一定是极值点，举了 \( f(x) = x^3 \) 在 \( x=0 \) 处的例子，导数 \( f'(x)=3x^2 \) 为零，但函数单调递增，没有极值。学生恍然大悟。

这种层层递进的教学，需要教师有极强的逻辑把控力。我学了一招：每讲一个新性质，都从最简单例子开始，逐步增加复杂度。比如，先讲多项式函数，再讲含参数的函数，最后结合图像分析。

学生基础扎实了，遇到高考题比如“已知函数 \( f(x) = e^x - ax \)，讨论其单调性”，他们至少知道先求导 \( f'(x) = e^x - a \)，再分类讨论 \( a \) 的范围。

教学弯路：砍掉那10%的冗余

姚老师那句话，我回来后在教研组里分享了好几遍。“10%的不必要教学内容，牵扯学生20%的精力，挫伤30%的信心。”我们组里的老师都感慨。新课标教材，内容比旧版丰富，但课时没增加多少。我们常常忍不住补充一些“拓展知识”，比如在讲导数时，提前灌输一点微积分史话，或者在计数原理里加些复杂的排列组合题。

初衷是好的，想让学生见多识广。但现实是，基础弱的学生消化不了，反而产生畏难情绪。

我反思自己的课堂。上学期讲《计数原理》时，我花了一节课讲“圆排列”和“项链排列”，结果月考中相关题目得分率最低。学生反馈说：“老师，那个绕来绕去的，我晕了。”现在看来，这些内容确实属于那10%的冗余。考纲里对圆排列要求不高，高考题也极少出现。我牵扯了学生精力，还打击了他们的信心。

王老师说的研究考纲，我深以为然。我后来把近五年高考数学卷翻出来，统计了《计数原理》部分的考点。发现主要考察分类加法、分步乘法原理，排列组合的基本公式，以及二项式定理的通项和应用。难题集中在有限制条件的排列组合，但比例不大。于是，我调整教学计划：基础课时讲透基本原理和公式，重点训练典型例题；

拓展课时只针对学有余力的学生，讲一些思维技巧。课堂时间分配上，80%用于基础，20%用于灵活应用。效果立竿见影。期中考试，班里这部分平均分提高了五分。学生说：“老师，现在我觉得计数原理不难了，就是分清楚是分类还是分步。”

这让我明白，教学得像修剪树枝，砍掉芜杂，主干才能长得壮。对于基础较差的学生，更是如此。他们需要反复巩固基本概念和技能，而不是被难题吓退。

比如，讲排列数公式 \( A_n^m = \frac{n!}{(n-m)!} \)，我让学生先理解“从n个不同元素中取m个有序排列”的含义，再通过具体例子如“从5人中选3人排成一列”计算 \( A_5^3 = 60 \)，最后才推广到公式。练习也以教材习题为主，不做偏题怪题。学生信心慢慢回来了。

教材深度挖掘：以《计数原理》为例

鲁老师的解读，给我打开了另一扇窗。教材不是平板一块，里头有脉络、有深意。他讲《计数原理》时，把整章知识梳理成三个模块：基本计数原理、排列组合、二项式定理。每个模块，他都挖掘了教材例题和习题的潜在价值。

比如，教材在分类加法原理后有个习题：“从甲地到乙地，可以乘火车、汽车或轮船，火车有4班，汽车有3班，轮船有2班，问共有多少种走法？”这题简单，但鲁老师指出，它可以变式为：“如果火车有4班，但其中一班是夜车，不推荐乘坐，那么有多少种走法？”这就引入了“有限制条件”的计数，为后续排列组合打基础。

他建议教学时，多用这种变式，培养学生思维灵活性。

他还强调计数模型的总结。排列和组合，本质都是计数，但排列讲究顺序，组合不讲。他用集合语言解释：排列是从集合中选取有序元组，组合是选取子集。

二项式定理 \( (a+b)^n = \sum_{k=0}^n C_n^k a^{n-k} b^k \)，他把它和组合数 \( C_n^k \) 联系起来，说明系数就是组合数，反映了展开式中项的出现次数。这种整体观，让学生看到数学知识是网络，不是孤岛。

我学以致用，在教《计数原理》时，设计了几个探究活动。比如，让学生小组讨论：“用0,1,2,3,4能组成多少个没有重复数字的三位数？”他们先分类：百位不能是0，所以分两步——先选百位有4种，再选后两位有 \( A_4^2 = 12 \) 种，总共48种。然后我引导他们思考，如果允许重复数字呢？

如果数字可以重复，百位仍有4种选择，十位和个位各有5种，所以总数是 \( 4 \times 5 \times 5 = 100 \)。学生通过对比，深刻理解了分步乘法原理。教材习题里的类似题目，我让他们自己改编，互相出题。课堂活了，学生思维也活了。

鲁老师对高考试题的研究，让我佩服。他举了2022年一道高考题：“将5名志愿者分配到3个不同社区服务，每个社区至少1人，有多少种分配方案？”这题可以用“先分组再分配”的方法。他详细拆解：先把5人分成3组，有(1,2,2)和(1,1,3)两种分组方式；每种分组方式下，计算组合数；再把组分配到社区。

步骤虽多，但思路清晰。我告诉学生，这种题考的就是对计数原理的综合运用，平时练好了，考场不慌。

回归教学本心

研讨会结束一周了，我的课堂悄悄变了样。备课时候，我先问自己：这节课的核心是什么？学生最可能卡在哪里？然后设计层层递进的问题链。讲课时候，我板书尽量工整，步骤不跳。遇到概念，多举例子，多让学生说。作业布置，以教材习题和基础练习为主，偶尔加一道思考题给有兴趣的学生。

学生反馈，数学课变得“更清楚了”。一个以前总在及格线徘徊的学生，最近小考得了七十分，他跑来跟我说：“老师，我现在知道导数怎么求单调区间了，原来就是解方程、画表格。”我听了，心里比吃了蜜还甜。

教学这条路，没有终点。但有了方向，走起来就踏实。那次研讨会，像一场及时雨，浇醒了我。教学不是炫技，不是填鸭，而是陪伴学生一步步攀登。砍掉冗余，夯实基础，挖掘教材——这十二个字，成了我的座右铭。我想起鲁老师最后说的话：“教师成长，就在这些点滴反思里。”是啊，我们都在路上。

只要心向学生，脚踩实地，总能找到那条捷径。

春天的风，终于暖了。教室里，粉笔灰在阳光里飞舞，学生们低头演算，偶尔抬头，眼神明亮。我站在讲台上，觉得这一切，真好。