高三数学教案 不等式的性质

一、明确复习目标

掌握不等式的性质及其证明，能正确使用这些性质解决一些简单问题

二.建构知识网络

1.比较原理：

两实数之间有且只有以下三个大小关系之一：a>b;a

; ; .

以此可以比较两个数(式)的大小，——作差比较法.

或作商比较：a>0时, ;a<0时, .

2.不等式的性质：

(1)对称性: ，

证明：(比较法)

(2)传递性: ，

(3)可加性: .

移项法则:

推论：同向不等式可加.

(4)可乘性: ，

推论1：同向(正)可乘:

证明：(综合法)

推论2：可乘方(正):

(5) 可开方(正):

证明：(反证法)

不等式的性质有五个定理,三个推论,一个比较原理,是解、证不等式的基础，对于这些性质，关键是正确理解和熟练运用，要弄清每一个条件和结论，学会对不等式进行条件的放宽和加强

三、双基题目练练手

1.(2006春上海) 若 ，则下列不等式成立的是( )

A.¬ . B. . C. . D. .

2.(2004北京)已知a、b、c满足 ，且 ，那么下列选项中不一定成立的是 ( )

A. B. C. D.

3. 对于实数，下命题正确的是 ( )

A.若a

C.若 ,则 . D.若a>b>0,d>c>0,则

4.(2004春北京)已知三个不等式：ab>0，bc-ad>0， - >0(其中a、b、c、d均为实数)，用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是

A.0 B.1 C.2 D.3

5.(2004辽宁)对于 ，给出下列四个不等式

① ②

③ ④

其中成立的是_________

6.a>b>0，m>0，n>0，则 ， ， ， 的由大到小的顺序是____________.

练习简答:1-4.CCCD; 5. ②与④; 6.特殊值法,答案： > > >

四、经典例题做一做

【例1】已知a<2，

求c的取值范围.

解：∵b≤2a

∴c=b-2a≤0,

∴ b-4> -2a= .

∴c的取值范围是：
【例2】设f(x)=ax2+bx,且1≤f(-1) ≤2, 2≤f(1) ≤4 ,求f(-2)的取值范围

解：由已知1≤a-b≤2, ①, 2≤a+b≤4 ②

若将f(-2)=4a-2b用a-b与a+b,表示，则问题得解

设4a-2b=m(a-b)+n(a+b), (m,n为待定系数)

即4a-2b=(m+n)a-(m-n)b,

于是得 得：m=3, n=1

由①×3+②×1得5≤4a-2b≤10

即5≤f(-2)≤10,

另法：由 得

∴f(-2)=4a-2b=3 f(-1)+ f(1)……

◆特别提醒:常见错解:由①②解出a和b的范围,再凑出4a-2b的范围.错误的原因是a和b不同时接近端点值,可借且于线性规划知识解释.

【例3】(1)设A=xn+x-n，B=xn-1+x1-n，当x∈R+，n∈N时， 比较A与B的大小.

(2)设00且a≠ ，试比较|log3a(1-x)3|与|log3a(1+x)3|的大小.

解: (1)A-B=(xn+x-n)-(xn-1+x1-n)

=x-n(x2n+1-x2n-1-x)

=x-n[x(x2n-1-1)-(x2n-1-1)]

=x-n(x-1)(x2n-1-1).

由x∈R+，x-n>0，得

当x≥1时，x-1≥0，x2n-1-1≥0;

当x<1时，x-1<0，x2n-1<0，即

x-1与x2n-1-1同号.∴A-B≥0.∴A≥B.

(2)∵0

①当3a>1，即a> 时，

|log3a(1-x)3|-|log3a(1+x)3|

=|3log3a(1-x)|-|3log3a(1+x)|

=3[-log3a(1-x)-log3a(1+x)]

=-3log3a(1-x2).

∵0<1-x2<1，∴-3log3a(1-x2)>0.

②当0<3a<1，即0

|log3a(1-x)3|-|log3a(1+x)3|

=3[log3a(1-x)+log3a(1+x)]

=3log3a(1-x2)>0.

综上所述，|log3a(1-x)3|>|log3a(1+x)3|.

◆提炼方法：(1)作差分解因式、配方或利用单调性,分类判断差式的符号.